武汉中考数学题第8题

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在武汉中考数学题第8题中，题目要求考生解答一个涉及函数和代数运算的问题。具体来说，题目可能描述了这样一个情境：假设有一个函数 $F(X) = \FRAC{1}{X^2}$，求该函数的反函数 $G(Y)$ 在区间 $(0, 1]$ 上的值。首先，我们需要找到函数 $F(X)$ 的反函数 $G(Y)$。反函数的定义是：对于每一个 $Y \IN \MATHBB{R}$，存在一个 $X$ 使得 $F(X) = Y$。根据反函数的定义，我们可以通过求解方程 $F(X) = Y$ 来找到 $X$。将 $Y$ 代入方程得到： $$\FRAC{1}{X^2} = Y$$ 接下来，我们需要解这个方程以找到 $X$。由于这是一个二次方程，我们可以使用因式分解的方法来解它。将方程两边同时乘以 $X^2$（因为 $X^2$ 不为零），得到： $$X^4 - X^3 = Y$$ 然后，我们继续因式分解： $$X^4 - X^3 = (X^2 - X)(X^2 X) = (X - 1)(X 1)(X^2 X)$$ 现在，我们需要找到一个 $X$ 的值，使得 $(X - 1)(X 1)(X^2 X) = Y$。为了找到这个 $X$ 的值，我们可以将 $Y$ 除以 $(X - 1)(X 1)$，得到： $$\FRAC{Y}{(X - 1)(X 1)} = X^2 X$$ 接下来，我们需要解出 $X$。为此，我们将等式两边同时除以 $(X^2 X)$： $$X^2 X - \FRAC{Y}{(X - 1)(X 1)} = 0$$ 最后，我们解出 $X$： $$X^2 X \FRAC{Y}{(X - 1)(X 1)} = 0$$ 由于这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解它： $$X = \FRAC{-B \PM \SQRT{B^2 - 4AC}}{2A}$$ 其中，$A = 1$，$B = 1$，$C = \FRAC{Y}{(X - 1)(X 1)}$。代入这些值，我们得到： $$X = \FRAC{-1 \PM \SQRT{1^2 - 4 \CDOT 1 \CDOT \FRAC{Y}{(X - 1)(X 1)}}}{\FRAC{2}{(X - 1)(X 1)}}$$ 简化得到： $$X = \FRAC{-1 \PM \SQRT{1 - \FRAC{2Y}{(X - 1)(X 1)}}}{\FRAC{2}{(X - 1)(X 1)}}$$ 由于分母不能为零，我们可以得到： $$\FRAC{-1 \PM \SQRT{1 - \FRAC{2Y}{(X - 1)(X 1)}}}{\FRAC{2}{(X - 1)(X 1)}} = X$$ 这意味着 $X$ 有两个值，分别对应于正负平方根。因此，反函数 $G(Y)$ 在区间 $(0, 1]$ 上的值是两个不同的点，分别是 $Y = G(0) = 0$ 和 $Y = G(1) = 1$。

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