武汉中考第四十题

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在解答武汉中考第四十题时，我们首先需要明确题目的具体内容和要求。根据题目描述，我们需要找到函数 $F(X) = 2\SIN^2 X \COS X$ 的最大值。为了求解这个函数的最大值，我们可以使用导数的方法来找到临界点。首先，我们对函数求导，得到： $$ F'(X) = 4\SIN^2 X \CDOT \FRAC{1}{2} - \COS X $$ 令 $F'(X) = 0$，解得： $$ 4\SIN^2 X \CDOT \FRAC{1}{2} - \COS X = 0 $$ $$ \SIN^2 X \CDOT \FRAC{1}{2} - \COS X = 0 $$ 由于 $\SIN X$ 和 $\COS X$ 都是实数，上式可以简化为： $$ \SIN^2 X = \FRAC{1}{2} $$ 因此，我们可以得到两个解： $$ \SIN X = \PM \FRAC{\SQRT{2}}{2} $$ 由于 $\SIN X$ 的值域是 $[-1, 1]$，所以只有当 $\SIN X = \FRAC{\SQRT{2}}{2}$ 时，函数 $F(X)$ 取得最大值。此时，$X = \FRAC{\PI}{4} K\PI$，其中 $K$ 是任意整数。函数 $F(X) = 2\SIN^2 X \COS X$ 的最大值为： $$ F_{\TEXT{MAX}} = 2\LEFT(\FRAC{\SQRT{2}}{2}\RIGHT)^2 \COS\LEFT(\FRAC{\PI}{4} K\PI\RIGHT) $$ 这就是函数 $F(X)$ 的最大值表达式。

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